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酒瓶的摆放艺术
发布时间:2020-02-13 14:15:10来源:中国科技教育作者:黄婉盈、宋晓辉、白玉

本项目应用初中几何知识证明了摆放13瓶酒方法的唯一性和规律性,其次应用翻折、数学归纳等方法将问题推广,分别得到底层为奇数或偶数瓶时第n次等高摆放的酒瓶数,具有独创性。

  研究动机

  酒瓶摆放问题起源于文艺复兴时期。它的表述是这样的:在酒柜中摆放13个大小相同的酒瓶,如果在底层摆放3个酒瓶,并且其中2瓶紧贴两端,则依序放入13瓶酒后,一定会使最顶层的3瓶酒一样高。我越想越觉得有兴趣,但同时也怀疑这个问题是否正确。当我去询问老师的时候,老师建议我先找出其中的规律性,利用规律性再看是否能推导出其他的排列方式。于是,在老师的指导下,我开始对“13瓶酒”的问题进行研究,寻找摆放13瓶酒的方法是否唯一及其规律性,进而利用规律性推演出其他的相关摆放情况。

  研究过程

  我们把底部的3个酒瓶各自给予一个名称:L代表左瓶,M代表中间的瓶子,R代表右边的瓶子。而最顶层的3个酒瓶,最左边的称为1瓶,中间的称为2瓶,右边的称为3瓶,见图1。假设酒瓶的直径为r。

图1

  估计酒柜的宽度

  因为最底层能摆放3瓶酒,所以酒柜的宽度最少要等于3个酒瓶的直径;而为了让M瓶有可以移动的空间,所以最大宽度不可以超过4个酒瓶直径的宽度(否则上层的酒瓶就会滚落到最底层)。

  结论:3r≤酒柜的宽度<4r

  以自制的酒瓶模型(同面值硬币)与酒柜模型(白板)寻找可能出现的情况

  酒柜宽度是3瓶酒的宽度:只有1种排列方式,经过目测,看起来是等高的。

  酒柜宽度在3r(不含)与3.5r之间,可以归纳出5种排列方法,分别是L跟M相接触、M在中间偏左、M在正中间、M在中间偏右和M跟R相接触。经过目测,每一组看起来都是等高的,见图2。

图2-3

  以同样的方式观察酒柜宽度刚好为3r的宽度和酒柜宽度在3.5r与4r(不含)之间的11种摆放情况,经过目测,每一组看起来都是等高的。在全部这16种情况中,可观察到一个共性:

  若M紧贴着L,则2会紧贴着3;当M向R移动时,则2也会逆向地往1移动;若M跟R紧贴,则2就会跟1紧贴。

  确定最顶层的3瓶酒是否真的等高

  观察图2可发现,除了固定不变的4瓶外,其他9个瓶子将形成一个四边形的形状;现在我们随意取一组出来,并且将所有的圆都标上圆心,之后把外面代表酒柜的框涂掉,接着把中间的9个圆心连线,另外把固定不动的4个圆的圆心分别与旁边的圆心相连接,最后再把圆心标上字母,见图3。

  在图3中,连接CE,因为CE、EF和EG都等于酒瓶的直径r,所以我们可以知道,C、F、G这3个点都会落在以E为圆心且半径为r的圆周上,再加上∠FCG=90°,于是可以知道:F、E、G这3点恰好在同一条直线上。同理,H、I、F这3点也在同一条直线上,可以推导出四边形HFGJ是一个菱形。

  再连接AK,因为AK、KH和KJ都等于酒瓶的直径r,所以A、H、J这3点都会落在以K为圆心且半径为r的圆周上,又因为H、K、J这3个点在同一条直线上,所以可以知∠HAJ=90°。同理,可以得到∠JDG=90°。因此,可以证明四边形ABCD正好为一个长方形。由于四边形ABCD为一个长方形,所以可知道A、J、D这3点在同一条直线上,并且和BC平行,也就是这3点将会在同一高度上。既然圆心都在同高度上,那么这3个酒瓶当然也就等高了。用相同的方法,在其他组也可以证实最顶端的3瓶酒一定会等高。

  结论:不管怎么排列,最顶端的3瓶酒1、2、3一定会等高。

  继续向上堆,是否有某一层的3瓶酒能够等高

  经推导证明(过程略),只要是对称组组合,每增加10瓶,就可以保持顶层的酒瓶等高;在特殊情况下每增加5瓶,同样也可以保持顶层的酒瓶等高。

  若将酒柜的宽度延伸,是否会有等高的情形发生

  观察前面图形我发现,堆好的瓶子是类似长方形的排列,若是将堆好的瓶子旋转90°,就可以发现:每次底层增加2瓶,则总瓶数将增加10瓶。

  如果再继续向上堆,是否会有等高的情形发生

  经推导证明(过程略):底层为奇数时,若是继续向上堆去,则每次将增加(第一次等高的瓶数-底层的瓶数)瓶;底层为偶数时,若是继续向上堆去,则每次将增加(底层的瓶数×2-1)瓶。

  研究结论

  基本型:底层保持只有3瓶,向上堆时,第n次顶层的一样高,则需要(10n+3)瓶(n为正整数);特殊情况(底层M瓶在正中间时)第n次顶层的一样高,则需要(5n+8)瓶(n为正整数)。

  推广型:底层向右边增加,底层瓶数分为奇数和偶数2种情况。底层为奇数时,底层为(2m+1)瓶,第1次顶层一样高,则需要(10m+3)瓶(m为正整数);底层为偶数时,底层为2m瓶时,第1次顶层一样高,则需要(10m-2)瓶(m為正整数)。

  最终型:底层向右增加,第n次等高时,若底层为奇数,底层为(2m+1)瓶,第n次顶层一样高,则需要(8mn+2m+2n+1)瓶(m、n都是正整数);底层为2m瓶时,第n次顶层一样高,则需要(4mn+6mn1)瓶(m、n都是正整数)。

  该项目获得第32届全国青少年科技创新大赛创新成果竞赛项目中学组数学一等奖。

  专家评语

  本项目应用初中几何知识证明了摆放13瓶酒方法的唯一性和规律性,其次应用翻折、数学归纳等方法将问题推广,分别得到底层为奇数或偶数瓶时第n次等高摆放的酒瓶数,具有独创性。项目立意有创新,研究方法合理,论据充分,研究成果有说服力。建议将得到的3种类型结果之间的联系指明,并考虑研究方法是否可推广到其他问题(例如地砖问题)中。

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